2.1 Eventos disjuntos e não disjuntos (regra da soma)
O que é: disjuntos não podem acontecer juntos (P(A e B) = 0). A regra da soma calcula A ou B.
Vida real: sortear um aluno. "Ser calouro" e "ser formando" são disjuntos. "Ter notebook" e "ter celular" não são.
Fórmulas
- Disjuntos: P(A ou B) = P(A) + P(B)
- Não disjuntos: P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B)
Lê-se: "probabilidade de A ou B é a de A mais a de B, menos a de A e B juntos".
Como reconhecer: "ou", "pelo menos um", "algum dos dois". Se aparece "ambos" ou "os dois", é não disjunto.
Exemplo resolvido (pesquisa de 2019): 65% leem impresso (A), 25% digital (B), 18% os dois.
- P(A ou B) = 0,65 + 0,25 − 0,18 = 0,72
- Nenhum dos dois: 1 − 0,72 = 0,28
- Somar direto daria 0,90: errado, os 18% foram contados duas vezes.
Pegadinha: esquecer a interseção. Confundir "não ler nenhum" (1 − P(A ou B)) com "não ler impresso" (1 − P(A)).
2.2 Complemento e "pelo menos um" Conferir com o professor
P(não A) = 1 − P(A). Em "pelo menos um", calcula o contrário (nenhum) e subtrai de 1: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum).
Exemplo: pelo menos um acerto em 2 tiros de 0,95: 1 − 0,05² = 1 − 0,0025 = 0,9975.
Pegadinha: "pelo menos um" não é "exatamente um".
2.3 Eventos independentes e regra da multiplicação (com "iésimo")
O que é: independentes = saber que um aconteceu não muda a chance do outro. Pra A e B, multiplica.
Vida real: cara no primeiro e no segundo lançamento. A moeda não tem memória.
Fórmulas
- P(A e B) = P(A) × P(B), só se forem independentes
- n repetições independentes com chance p: pⁿ ("p elevado a n")
Como reconhecer: "e", "ambos", "todos", "em sequência", "n vezes", "iésimo".
Exemplo resolvido (bombardeiro, 0,95 por missão, missões independentes)
- 2 seguidas: 0,95 × 0,95 = 0,9025
- 10 seguidas: 0,95¹⁰ = 0,5987
- 30 seguidas: 0,95³⁰ = 0,2146
- Iésima missão (n genérico): 0,95ⁿ. Pelo menos uma falha em n: 1 − 0,95ⁿ (com n = 10: 0,4013)
Pegadinha: multiplicar quando é "ou". Confundir disjunto com independente: disjuntos com probabilidade maior que zero são dependentes (saber que A ocorreu garante que B não ocorreu).
2.4 Probabilidade condicional, a barra "dado que" Cai na prova
O que é: a chance de B sabendo que A já aconteceu. O universo encolhe pros casos em que A ocorreu.
Vida real: chance de um aluno ter notebook, dado que ele é do primeiro ano. Só olha o primeiro ano.
Fórmula: P(B | A) = P(A e B) / P(A), com P(A) > 0. Lê-se "probabilidade de B dado A". O denominador é sempre o evento depois da barra.
Como reconhecer: "dado que", "sabendo que", "se", "entre os que", "dentre os".
Exemplo resolvido (impresso e digital)
- P(impresso | digital) = 0,18 / 0,25 = 0,72
- P(digital | impresso) = 0,18 / 0,65 = 0,2769
Com dados reais: P(diabetes | glicose > 155) = 94 / 117 = 0,8034, contra P(diabetes) = 0,349 na base inteira.
Pegadinha: inverter P(A | B) com P(B | A).
2.5 Regra geral da multiplicação (2 e 3 eventos)
Fórmulas
- P(A e B) = P(A) × P(B | A)
- P(A e B e C) = P(A) × P(B | A) × P(C | A e B)
Se forem independentes, P(B | A) = P(B) e vira a regra simples.
Como reconhecer: "e" com "dado que o primeiro ocorreu...", ou sorteio sem reposição.
Exemplo resolvido (campanha de caridade): alcança 40% da lista, 30% dos alcançados prometem, metade dos que prometem doa. P = 0,40 × 0,30 × 0,50 = 0,06 (6%).
Pegadinha: escrever 0,6 em vez de 0,06. Probabilidade pequena multiplicada fica menor ainda.
2.6 Testar independência (3 formas)
- P(A e B) = P(A) × P(B)
- P(B | A) = P(B)
- P(A | B) = P(A)
Basta uma falhar pra serem dependentes.
Exemplo 1: P(A) = 0,6 e P(A | B) = 0,7. Como 0,7 ≠ 0,6, portanto são dependentes.
Exemplo 2 (impresso e digital): 0,65 × 0,25 = 0,1625 ≠ 0,18, portanto são dependentes.
Pegadinha: parar em "são diferentes". A prova quer a frase "portanto, dependentes".
2.7 Exercício do João
A = açaí no café da manhã, B = brócolis no almoço. Dados: P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A | B) = 0,7. Pede P(B | A).
- P(A e B) = P(A | B) × P(B) = 0,7 × 0,5 = 0,35
- P(B | A) = P(A e B) / P(A) = 0,35 / 0,6 = 0,5833
- Como P(A | B) = 0,7 ≠ P(A) = 0,6, A e B são dependentes.
2.8 Teorema de Bayes Conferir com o professor
O professor só citou o nome (base de árvores e algoritmos de machine learning).
O que é: inverte uma condicional: com P(A | B), descobre P(B | A).
Fórmula: P(B | A) = P(A | B) × P(B) / P(A). O P(A) costuma vir da soma de todos os caminhos: P(A) = P(A | B) × P(B) + P(A | não B) × P(não B).
Como reconhecer: informa P(A | B) e pede P(B | A). "Teste deu positivo", "falso positivo".
Exemplo: doença com 1% de prevalência, teste acerta 90% dos doentes e dá 5% de falso positivo.
- P(+) = 0,90 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,009 + 0,0495 = 0,0585
- P(doente | +) = 0,009 / 0,0585 = 0,1538 (15,38%)
Pegadinha: achar que teste de 90% dá 90% de chance de estar doente. A prevalência baixa derruba o resultado.