Distribuição normal e Z-score

4.1 Distribuição normal Cai na prova

O que é: curva em sino, simétrica em torno de μ. Escreve-se X ~ N(μ, σ²): "X tem distribuição normal com média μ e variância σ²". A probabilidade é a área sob a curva (a integral). Como não existe fórmula fechada pra essa área, usa-se Z e tabela.

Vida real: altura dos adultos: a maioria perto da média, poucos muito altos ou muito baixos.

Densidade (só entender, não calcular): f(x) = 1 / (σ √(2π)) × e^(−(x − μ)² / (2σ²)). O μ posiciona o centro e o σ define a largura.

Exemplo do slide: alturas com μ = 1,70 e σ = 0,10. P(1,60 ≤ X ≤ 1,80) é a área sob a curva entre 1,60 e 1,80.

Regra 68, 95, 99,7 Conferir com o professor

• μ ± 1σ: cerca de 68% (alturas entre 1,60 e 1,80)
• μ ± 2σ: cerca de 95% (entre 1,50 e 1,90)
• μ ± 3σ: cerca de 99,7% (entre 1,40 e 2,00)

Pegadinha: N(μ, σ²) traz a variância. N(50, 25) tem σ = 5, não 25.

4.2 Z-score e tabela Z Conferir com o professor

O que é: quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. Padronizar transforma qualquer normal em N(0, 1).

Fórmula: Z = (x − μ) / σ

Vida real: nota 8,5 numa prova com média 7 e desvio 1,5: Z = 1, um desvio acima.

Como ler a tabela (dá a área à esquerda, P(Z < z))

1. Calcula Z.
2. Linha = parte inteira e primeiro decimal. Coluna = segundo decimal. Z = 1,57 → linha 1,5, coluna 0,07 → 0,9418.
3. P(Z < z): valor direto da tabela.
4. P(Z > z): 1 − P(Z < z).
5. Entre dois valores: P(Z < b) − P(Z < a).
6. Z negativo (se a tabela só tiver positivos): P(Z < −z) = 1 − P(Z < z). Ex: P(Z < −0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085.

Exemplos (alturas, μ = 1,70 e σ = 0,10)

• P(X > 1,85): Z = 1,5 → 1 − 0,9332 = 0,0668
• P(X < 1,60): Z = −1 → 1 − 0,8413 = 0,1587
• P(1,65 < X < 1,85): Z de −0,5 a 1,5 → 0,9332 − 0,3085 = 0,6247

Valores clássicos: P(Z > 1,96) = 0,025 e P(−1,96 < Z < 1,96) = 0,95.

Pegadinha: esquecer o "1 menos" no "maior que".

Tabela Z: P(Z < z)